روش اجرا: مدل، استدلال، کنترل
هر سؤال را بدون دیدن پاسخ حل کن. ابتدا نوع مسئله را نام ببر، سپس مدل یا فرض را بنویس و مراحل را کامل کن. در پایان با حالت کوچک، کران یا رابطهٔ شناختهشده جواب را کنترل کن.
تمام عددها و موقعیتها برای تمرین این سایت ساخته شدهاند. معیار خودتصحیح «مدل درست، مراحل و کنترل» است.
1. اصل جمع
سؤال: از میان 4 کتاب داستان یا 3 کتاب علمی، قرار است دقیقاً یک کتاب انتخاب شود. چند انتخاب وجود دارد؟
پاسخ پیشنهادی
دو دسته جدا هستند و دقیقاً یکی انتخاب میشود؛ با اصل جمع 4+3=7 انتخاب داریم.
2. اصل ضرب
سؤال: برای ساخت یک کد، یک حرف از میان 3 حرف و سپس یک رقم از میان 5 رقم انتخاب میشود. چند کد ممکن است؟
پاسخ پیشنهادی
هر انتخاب حرف با هر انتخاب رقم ترکیب میشود؛ با اصل ضرب 3×5=15 کد داریم.
3. شمارش با محدودیت
سؤال: چند عدد دو رقمی با رقمهای 1، 2، 3 و بدون تکرار میتوان ساخت؟
پاسخ پیشنهادی
برای رقم دهگان 3 انتخاب و برای یکان 2 انتخاب باقی میماند؛ در نتیجه 3×2=6 عدد.
4. حالتبندی
سؤال: با دو سکهٔ متمایز چند حالت رو و پشت داریم؟ حالتها را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
برای هر سکه دو انتخاب وجود دارد؛ چهار حالت RR، RP، PR و PP به دست میآید. تمایز دو سکه ترتیب را معنادار میکند.
5. اصل لانهٔ کبوتری
سؤال: از میان 13 نفر، چرا دستکم دو نفر ماه تولد یکسان دارند؟
پاسخ پیشنهادی
۱۲ ماه نقش لانه و ۱۳ نفر نقش اشیا را دارند. قرار دادن ۱۳ نفر در ۱۲ ماه تضمین میکند حداقل یک ماه بیش از یک نفر داشته باشد.
6. اثبات زوجبودن
سؤال: اگر n زوج باشد، ثابت کن n² نیز زوج است.
پاسخ پیشنهادی
چون n زوج است، n=2k برای عدد صحیح k. پس n²=4k²=2(2k²) و بنابراین n² زوج است.
7. مثال نقض
سؤال: ادعای «جمع هر دو عدد فرد، فرد است» را با مثال نقض ارزیابی کن.
پاسخ پیشنهادی
مثلاً 3 و 5 هر دو فردند، اما جمعشان 8 و زوج است. یک مثال نقض برای رد حکم کلی کافی است.
8. درجهٔ رأس
سؤال: گرافی با رأسهای A، B، C و یالهای AB، AC و BC دارد. درجهٔ هر رأس چیست؟
پاسخ پیشنهادی
هر رأس به دو رأس دیگر وصل است؛ پس درجهٔ A، B و C هرکدام 2 است.
9. رابطهٔ درجه و یال
سؤال: در یک گراف بدون جهت مجموع درجهها 14 است. تعداد یالها چند است؟
پاسخ پیشنهادی
هر یال دو واحد در مجموع درجهها سهم دارد؛ پس تعداد یالها 14÷2=7 است.
10. همبندی
سؤال: گرافی یالهای AB، BC و DE دارد. چند مؤلفهٔ همبند میان رأسهای A تا E وجود دارد؟
پاسخ پیشنهادی
A، B و C یک مؤلفهاند و D و E مؤلفهٔ دوم را میسازند؛ پس گراف دو مؤلفهٔ همبند دارد.
نتیجه را چطور خودتصحیح کنی؟
برای هر سؤال یک امتیاز به تشخیص نوع، یک امتیاز به مدل، یک امتیاز به مراحل و یک امتیاز به کنترل بده. خطا را میان «شمارش»، «فرض و حکم» و «گراف» دستهبندی کن و همان دسته را با صورت تازه بازحل کن.